IFS fraktály

Na rozdiel fraktálov diskutovaných v predchádzajúcich dvoch oddeleniach sa nejedná o polynomickej fraktály. Kým polynomickej fraktály sú definované jednou rovnicou (pravidlom), IFS môžu vznikať na základe viacerých pravidiel. Napriek tomu sa jedná mnohokrát o veľmi jednoduché útvary. Ich konštrukcia, ktorá sa vykonáva stochastické cestou, sa dá všeobecne popísať tak, že na nejaký počiatočný bod aplikujeme transformačné pravidlá w _1, w _2,... w _n s určitou pravdepodobnosťou. Súčet pravdepodobnosťou sa rovná 1. Po jednej iterácii získame nový počiatočný bod alebo ich sústavu a iteratívne na nich aplikujeme onen súbor pravidiel. Tento spôsob sa niekedy nazýva chaotická hra. Pre dosiahnutie vytúženého výsledku musíme vykonať niekoľko tisíc iterácií, ale u niektorých fraktálov vidíme hrubý obrys výsledku už od prvých iterácií. Príkladom môže byť Cantorovo mračno.

Cantorovo mračno (diskontinuum)

Ide zrejme o najjednoduchší fraktál vôbec a asi pre vás nebude ťažké uhádnuť, že je to iteračného funkčný systém. Vychádza z úsečky. Na ňu iteratívne aplikujeme len jedno pravidlo - rozdelíme úsečku na tri časti a vyberieme tú prostrednú.

Vďaka Cantorovu mračne vraj B. Mandelbrot odstránil šum na telekomunikačných linkách firmy IBM. Vtedy zrejme ešte netušil že D _H = log (2) / log (3) = 0.6309.

Sierpinski trojuholník

Toto je pre zmenu akýsi reprezentant všetkých IFS fraktálov. Východiskový bod tu predstavuje trojuholník (najlepšie rovno- stranný či ramenný). Môže sa vytvárať niekoľkými spôsobmi, najnázornejšia je tento: máme teda trojuholník a rozdelíme ho na 4 rovnaké časti (podľa stredných priečok). Prostrednej časti vyberieme. Toto pravidlo aplikujeme na zvyšné 3 trojuholníky, potom na zvyšných 9, 27, 81 (čo príde asi potom?). Výhoda tejto metódy je ako som už uviedol v názornosti (už od začiatku vidíme stále sa upresňujúce torzo výsledku), ale bohužiaľ sa nejedná o chaotickú hru. Ako na nej? U trojuholníka máme pochopiteľne tri vrcholy ABC a ešte potrebujeme náhodne zvolený bod Z na obvode trojuholníka. Od tohto bodu vedieme pomyselnú úsečku k náhodne zvolenému vrcholu. Úsečku nezakreslujeme, ale v jej strede zakreslíme bod Z1. Od neho znova vedieme úsečku k náhodnému vrcholu a opäť zakreslíme len jej stred. Po niekoľkých tisícoch opakovaniach sa nám začne z bodov skladať výsledok:

Jeden môj kamarát vlastniaci programovateľnú kalkulačku úspešne implementoval chaotickú hru. Na tom nie je nič divné, ale podobný výsledok dostal aj vtedy, keď bod vykreslil na tretine, štvrtine, pätine ... úsečky. Podobný obrázok dostal dokonca aj vtedy, keď vykreslil bod úplne mimo úsečku (ale podľa nemenných pravidiel)! Počiatočný bod nemusel dokonca ležať ani na obvode trojuholníka, mohol sa nachádzať úplne mimo! Potom sa prvých pár bodov síce vykreslilo inde, ale potom systém rýchlo vyrovnal,. Podobné experimenty dokazujú, že hoci je tento postup hrou na chaos, je neobyčajne stabilný, aj keď do neho kopeme kanadama.Dále sa ponúka možnosť aplikovať chaotickú hru na štvorec alebo n-uholníky.
Medzi Pascalovým a Sierpinski trojuholníkom si vnímavejší jedinci všimnú až znepokojujúce podobnosti

D _H = log (3) / log (2) = 1.5850

Sierpinski koberček

Sierpiński sa neobmedzil iba na trojuholník, ale experimentoval aj s inými útvarmi. V tomto prípade sa štvorcom. Spôsob generovanie tohto fraktálu je tiež veľmi jednoduchý. Ako počiatočný bod si zvolíme štvorec. Na každej jeho strane vyznačíme ich tretiny. Protiľahlé body spojíme. Uprostred pôvodného štvorca tak vznikne nový štvorec - dĺžka jeho strany sa rovná tretine dĺžky strany pôvodného štvorca a nachádza sa uprostred pôvodnej štvorcové plochy. Vyberieme ho, zostane nám teda 8 týchto tretinových štvorcov. Na tie aplikujeme rovnaké pravidlo.

D _H = log (8) / log (3) = 1.8928 papradie

IFS fraktály sa neobmedzujú len na jednoduché geometrické útvary. IFS fraktál môžete vytvoriť prakticky z čoho chcete. Napríklad z papradia. Konečne sa dostávame k dvom afinním transformáciám. Sú definované ako parametrické rovnice:

x _i + 1 = ax _i + by _aj + e
y _i + 1 = cx _i + dy _i + f

kde parametre a, b, c, d, e, f, p sú definované takto:

Parameter p určuje pravdepodobnosť jednotlivých transformáciou

Poznámka autora: V zdrojovom materiálu je u parametra p evidentne chyba alebo nie je dostatočne vystvětlen. Na odstránenie tohto nedostatku sa pracuje.

Kochova vločka

Ďalšie dobre známy fraktál je tiež vzniká pomocou veľmi jednoduchých transformáciou. Počiatočný bod tvorí rovnostranný trojuholník. Doprostred každej stany pridáme ďalšiu rovnostranný trojuholník a tak stále dokola.Výsledek vidíte na obrázku.

záver

IFS fraktály sú veľmi user-friendly skupinou fraktálov - ľahko sa generujú (Samozhrejme existujú aj zložité IFS), dobre vyzerajú a každý si môže vymyslieť ten svoj. V tomto texte sú uvedené štyri druhy, ale lepšie by bolo povedať štyri triedy fraktálov. Na väčšinu útvarov možno vymyslieť nejakú tú afinní transformáciu. Ťažko ale vytvoríte IFS na základe kruhu. Jediná možnosť je iteratívne zmenšovať kruh, ale tým fraktál neurobíte. Z kruhu ťažko vytvoríte kópie jeho samého. Ďalším taktovýmto nevďačným objektom sú krivky (napr sínusoida). Tam ale toto tvrdenie neplatí úplne au niektorých kriviek "bez rovných plôch" sa vám môže podariť vymyslieť a aplikovať nejakú tú transformáciu hoci treba zložitú a nemusí byť sama. Tiež väčšinu fraktálov (napr prírodných objektov) nepôjde použiť ako východiskový bod pre IFS. Aj keď výnimka potvrdzuje pravidlo (a v matematike vyvracia). Najjednoduchší IFS vznikajú zn (1 až nekonečno) rozmerných geometrických útvarov. Takže sadnite ku compu, zoberte hyperkocka a vytvorte IFS (hyperkocka-4D objekt s kubickej základňou).