Úvod do fraktálov a chaosu

V minulej lekcii, Prevod čísel medzi číselnými sústavami , sme si ukázali algoritmy pre prevod čísel medzi číselnými sústavami.

Euklidovská geometria, ktorá sa učí na školách je vlastne úplne primitívne. Učí nás pár vzorčekov pre nemnoho objektov či tvarov a je už jedno kolika rozmerných. Každý si vie predstaviť kocku, kruh, štvorec a prípadne ich aj nakresliť a dokonca narysovať. Starí Gréci jej popísali platónskom svet ideí, statický a vlastniaci oných úbohých pár tvarov. Napriek tomu tvrdili, že sa tak dá popísať celý svet. Podobné tendencie zaznamenávame za tých 2500 rokov (páni to to letí ...) aj v umení (obrazy, hudba- najmä v baroku a klasicizmu a to napriek tomu, že vyjadriť mieru determinizmu v hudbe je veľmi ťažká úloha) a všeobecne ideálom krásy sa väčšinou stane maximálne mierne nesymetrický euklidovský objekt. Pozrite sa ale tak 20 cm nad monitor. Čo vidíte? To je celkom jedno, ale ak sa pozeráte napríklad z okna treba skrz záclony, skúste si ich opísať ako sústavu půlválců a kriviek (napr. Beziérových). Zrejme sa vám to nikdy nepodarí s úplne presne. Keď totiž budete zjemňovať mierka, uvidíte ďalšie a ďalšie podrobnosti (napr. Otrepy na nitiach). Musíte sa uspokojiť s aproximáciou, ktorá je však stratová. Nakoniec sa ukazuje, že v prírode je veľmi ťažké na každom kroku nenaraziť na fraktálne útvar. K opisu týchto útvarov sa používa fraktálne geometrie, bez ktorej by niektoré prírodné úkazy, útvary boli nepochopiteľné (napr. Turbulencie). Fraktály majú však širšie využitie. Predikcia (predpoveď) počasie je toho najlepším dokladom. Ďalej predikcie v oblasti prírode na hony vzdialené, a to v oblasti ekonomiky. Mohli by sme menovať ďalšie a ďalšie odbory, ale potom by sa vám stránka nenačetl do pár hodín.

Svitania chaosu

Začnime v devätnástom storočí. Vtedy sa objavila práce pokúšajúce sa popísať sústavu troch hmotných bodov s približne rovnakou hmotnosťou. Bolo dokázané že analitycké riešenie neexistuje! Deje v tejto sústave nemôžeme predpovedať, je chaotická. Najbližšie sa to dá overiť v páse asteroidov medzi Marsom a Jupiterom, zvoňte na sústavu Trojan. O ďalšie nesmelé výkriky sa postarali počas prvej svetovej vojny Gaston Julia a Pierre Fato pri skúmaní rovnice z = z2 + c kde zic sú komplexné čísla, z predstavuje súradnice vykreslovaného bodu ac je konštanta. Pre výpočet sa používa time escape algorithm. Zvolíme si konštantu c, reprezentujúci množinu (tých teda nekonečne veľa) a pre každý bod z iteratívne skúšame, či konverguje. Ak áno, do množiny nepatrí a pre názornosť mu pridelíme príslušnú farbu. Ak vydrží aj do maximálneho počtu iterácií do množiny patrí. Podrobnejšie budú prepranie ďalej v texte. Ďalšie, už celkom sebavedomý výkrik spáchal na prelome päťdesiatych a šesťdesiatych rokov Edvard Lorenz. Tento matematik sa zaujímal o počasí a pokúšal sa vymyslieť rovnice popisujúce správanie atmosféry. Mal to šťastie, že mohol pracovať s počítačom. Hoci Lorenz počítal so silne zjednodušenými modelmi, počítač pracoval len veľmi pomaly. Keď to Lorenza prestalo baviť, skrátil si čas tým, že vykreslil len polovicu grafu. Keď ho potom porovnal s už skôr vypočítaným grafom, zistil, že sa po chvíli stále viac rozchádzajú. Najprv nařknul počítač zo klamstvo (alebo snáď chyby?), Ale po opakovanom výpočte zistil, že počítač neklame. Pôvodný graf bol totiž počítaný s presnosťou na 8 desatinných miest, polovičný len na 6.

Lorenz sa neobmedzoval len na počasie. Pokúšal sa popísať aj správanie vodného kolesa. Na obyčajnom kole sú zavesené nádoby, do ktorých zhora priteká a deravým dňom odteká voda. Ako sa bude také systém správať? Lorenz predpokladal, že sa bude buď točiť na jednu stranu, alebo periodicky meniť smer otáčania. Na obrazovke počítača sa vykraslila krivka v 3D, ktorá sa ale nikde neprotla. Nestalo sa teda ani jedno, koleso sa chová chaoticky. Je to teda prvý popísaný chaotický systém. Jeho atraktor je takisto prvý nájdený podivný atraktor a je tiež fraktálom. To Lorenz ešte nevedel, ale dnes je symbol, ktorý nájdete snáď vo všetkých publikáciách zaoberajúcimi sa chaosom.

Začnime v devätnástom storočí. Vtedy sa objavila práce pokúšajúce sa popísať sústavu troch hmotných bodov s približne rovnakou hmotnosťou. Bolo dokázané že analitycké riešenie neexistuje! Deje v tejto sústave nemôžeme predpovedať, je chaotická. Najbližšie sa to dá overiť v páse asteroidov medzi Marsom a Jupiterom, zvoňte na sústavu Trojan. O ďalšie nesmelé výkriky sa postarali počas prvej svetovej vojny Gaston Julia a Pierre Fato pri skúmaní rovnice z = z2 + c kde zic sú komplexné čísla, z predstavuje súradnice vykreslovaného bodu ac je konštanta. Pre výpočet sa používa time escape algorithm. Zvolíme si konštantu c, reprezentujúci množinu (tých teda nekonečne veľa) a pre každý bod z iteratívne skúšame, či konverguje. Ak áno, do množiny nepatrí a pre názornosť mu pridelíme príslušnú farbu. Ak vydrží aj do maximálneho počtu iterácií do množiny patrí. Podrobnejšie budú prepranie ďalej v texte. Ďalšie, už celkom sebavedomý výkrik spáchal na prelome päťdesiatych a šesťdesiatych rokov Edvard Lorenz. Tento matematik sa zaujímal o počasí a pokúšal sa vymyslieť rovnice popisujúce správanie atmosféry. Mal to šťastie, že mohol pracovať s počítačom. Hoci Lorenz počítal so silne zjednodušenými modelmi, počítač pracoval len veľmi pomaly. Keď to Lorenza prestalo baviť, skrátil si čas tým, že vykreslil len polovicu grafu. Keď ho potom porovnal s už skôr vypočítaným grafom, zistil, že sa po chvíli stále viac rozchádzajú. Najprv nařknul počítač zo klamstvo (alebo snáď chyby?), Ale po opakovanom výpočte zistil, že počítač neklame. Pôvodný graf bol totiž počítaný s presnosťou na 8 desatinných miest, polovičný len na 6.

Lorenz sa neobmedzoval len na počasie. Pokúšal sa popísať aj správanie vodného kolesa. Na obyčajnom kole sú zavesené nádoby, do ktorých zhora priteká a deravým dňom odteká voda. Ako sa bude také systém správať? Lorenz predpokladal, že sa bude buď točiť na jednu stranu, alebo periodicky meniť smer otáčania. Na obrazovke počítača sa vykraslila krivka v 3D, ktorá sa ale nikde neprotla. Nestalo sa teda ani jedno, koleso sa chová chaoticky. Je to teda prvý popísaný chaotický systém. Jeho atraktor je takisto prvý nájdený podivný atraktor a je tiež fraktálom. To Lorenz ešte nevedel, ale dnes je symbol, ktorý nájdete snáď vo všetkých publikáciách zaoberajúcimi sa chaosom.

Zrod "chaotické" vedy

Predchádzajúce práce boli zaiste prelomové, však väčšina vedcov je buď odsúdila a alebo sa nimi vôbec nezaujímala. Benoit Mandelbrot tak len náhodou narazil na zapadnutú prácu Gastona Julia a Pierre Fato. Zaujala ho a chcel všetky množiny zjednotiť. Vráťme sa ale k jeho osobe. Tento veľmi ctižiadostivý a sebavedomý vedec sa narodil roku 1924 vo Varšave, ale v roku 1936 sa presťahoval do Paríža a neskôr do Tully. Študoval na École Normale a École Politechnique. Pracoval u IBM, kde sa prvýkrát stretol s fraktály pri štúdiu vývoja cien bavlny či pri probléme odstraňovaní šumu pri dátových prenosoch. Cena bavlny bola síce nepredvídateľná, ale rovnaká postupnosť zmien sa dala vysledovať v rôznych mierkach. Podobný problém odhalil aj pri sledovaní porúch na telekomunikačných linkách. Preslávil sa ale až vďaka jeho, mandelbrotova množina. K svojej práci už mal ďaleko rýchlejší počítač, ale kreslenie M. množiny je časovo nárožné. Prvý čiernobiele obrázky sa objavovali veľmi pomaly, ale naštartovali novú vedný disciplínu, ktorá sa vyvíjala (í) veľmi chaoticky a búrlivo. M-set (anglické meno) bude podrobne diskutovaná ďalej v texte.