Všeobecná teória a delenie fraktálov

delenie fraktálov

Na základe generovanie fraktálov rozoznávame niektoré ich typy:

L-Systémy **** Iteračné funkčné systémy (IFS)
Polynomickej fraktály (TEA)
náhodné fraktály

L-Systémy

L-systémy boli prvýkrát použité botanikom Aristidom Lindenmayerem (1968) pre simuláciu vývoja mnohobunkových organizmov. Pre L-systémy sa niekedy používa označenie fraktálne krivky. Pravidiel slúžiace na generovanie fraktálu nech sú nazvaná parametre. Množina všetkých parametrov nech sa nazývajú abecedou príslušného L-systému. Jednotlivé parametre sú označené jedinečným symbolom. Počiatočná symbol alebo množinu symbolov, ktorý je základom pre generovanie fraktálne kriviek sa nazýva axióma (iniciátor). Ten predstavuje väčšinou veľmi jednoduchý nefraktální obrazec, napr. Trojuholník, štvorec, priamka, kocky ... A teraz prikročíme ku konštrukcii. Pravidlo ktoré jej opisuje (transformačný pravidlo) sa nazýva L-pravidlo či generátor. Toto pravidlo iteratívne aplikujeme na všetky symboly, ktoré sú súčasťou iniciátora. Každé štádium konštrukcie fraktálu spočíva v premene každej predchádzajúcej línie v príslušnú kópiu generátora. Pre štádium konštrukcie fraktálu pred danou transformáciou sa používa názov predchodca (predecesser) a pre štádium po danej transformácii sa používa názov nástupca (successor) (pozri nasledujúci obrázok.

Postupom popísaným vyššie vzniká napr. Kochova krivka. Samozrejme že existuje viac druhov L-systémov. Všeobecná klasifikácia L-systémov nebola doteraz zavedená. Pokusy o nej stále vychádzajú z konkrétnych odborov, kde sú L-sys. používané. Za najpresnejšie a najvšeobecnejšia metódu ich triedenie môžeme považovať rozdelenie podľa spôsobu ich generovania (teda klasifikácia metód k tomu použitých). Najhlavnejšie sú parametrické L-systémy, kontextovo senzitívne L-systémy (endogení L-systémy) a environmentálne senzitívne L-systémy. L-systému sú využívané v biológii, geológii a podobných prírodných vedách. Ich plné využitie zatiaľ bráni nedostatok údajov presne opisujúcich morfológiu prírodných objektov. To sa prejavuje najmä vtedy, keď výskum vedieme "do hĺbky" a nestačí nám len prosté zobrazenie.

IFS

Existuje niekoľko metód konštruovania. Prvá je stochastické cesta. Máme ľubovoľný počiatočný bod a na neho použijeme sadu transformačných pravidiel. Jednotlivým pravidlám však priradíme určitú pravdepodobnosť, tzn. že príslušné pravidlo sa vyberá náhodnú (stochastické) cestou. Všeobecne si vyjadríme jednotlivé transformačné pravidlá ako funkcia w _1, w _2, w _3,... w _n. Každé priradíme pravdepodobnosť p _1, p ₂... p _n. Ich súčet dáva 1 (100%). Transformácia majú afinní povahu tzn. že sa skladajú z násobné a pričítacie matice.

x, y - súradnice

Nová položka sa stáva opäť začiatkom pre ďalšie transformáciu. Výsledky získame po niekoľkých tisícoch iterácií. Túto chaotickú hru, ako sa opísaný postup niekedy nazýva, si ukážeme na príklade Sierpinski trojuholníka. Pri jeho vytváraní nám stačí zaviesť tri jednoduché pravidlá s tretinovou pravdepodobnosťou.

Tu vidíme vývoj niekoľkých prvých iterácií a po 10000 opakovaniach.

Ďalší spôsob je na predstavenie oveľa jednoduchšie. Jedná sa o jednoducho iteračné metódu. Spočíva v tom, že máme nejaký základný obrazec (trojuholník, štvorec ...) a naň aplikujeme nejaké geometrické pravidlo. Ako príklad vezmime opäť Sierpinski trojuholník. Najprv teda máme obyčajný, najlepšie ale presne -Strana, -ramenné alebo pravouhlý trojuholník. Teraz označíme stredy jeho strán a spojíme ich úsečkou (narysujeme stredné priečky). Počiatočná trojuholník je rozdelený na 4 časti a my prostrednej vyberieme. Získame tri trojuholníky (kópie toho pôvodného) a na ne aplikujeme rovnaké pravidlo. Po dostatočnom počte iterácií (nekonečnom) dostaneme fraktálne útvar. Metóda je triviálne a je názornejšie, pretože už od počiatku vidíme obrysy ciele. IFS fraktálov je samozrejme veľa, nielen Sierpinski trojuholník (Hausdorff dimenzie D _H = log (3) / log (2) = 1,585), ako ďalšie príklady možno uviesť napr. Sierpinski koberček (D _H = log (8) / log (3) = 1,8928), Cantorovo diskontinuum (D _H = log (2) / log (3) = 0,6309), Hilbertova krivka (D _H = 2 celkom dosť na krivku, čo), papradie a veľa ďalších. Fraktálov typu IFS možno vytvoriť veľmi veľa.

polynomickej fraktály

Na rozdiel od predošlých dvoch typov je nemožno väčšinou použiť pre skúmanie prírodných objektov. Často ale vytvárajú fascinujúce obrazce, a preto sú najznámejšie. vytvárajú sa mapovaním oblastí príťažlivosti pre rôzne riešenia nelineárneho systému. V sústave súradníc (často komplexných) testujeme rôzne hodnoty, ktoré dosadzujeme do pôvodnej rovnice. Na jej výsledok aplikujeme iteratívne rovnaké pravidlo. Pravú stranu dosadíme do ľavej a tak stále pokračujeme. Z toho vyplíva, že výsledku by sme sa dopracovali až v nekonečnom čase. V praxi sa teda ustanovuje limitná hranica pre počet iterácií. Ak je atraktor jasne smeruje do svojej oblasti príťažlivosti (to je však u každého systému podľa jeho autonómnych pravidiel), "výpočet" ukončíme a bod pre väčšiu efektivitu zafarbíme príslušnou farbou podľa počtu iterácií. Ak dosiahneme limitné hodnoty, potom bod zafarbíme implicitné farbou. Generovanie týchto fraktálov teda nie je celkom exaktná, závisí od počtu iterácií. Avšak čím väčšiu kvalitu požadujeme, tým väčšie nároky kladieme na hardvér počítača. Ich výpočet je teda časovo veľmi náročný proces, ktorý podľa súčasných poznatkov nejde urýchliť. Bez výpočtu nemožno zistiť pre žiadny bod v rovine (či 3D, 4D, ... nD priestoru) či patrí, alebo nie do danej oblasti príťažlivosti. Medzi polynomickej fraktály radíme napr. Mandelbrotova množina, Juliovy množiny a variácie na ne. Rovnica, ktoré ich popisujú, bývajú až prekvapivo jednoduché a tento typ fraktálov bude v tomto texte hojne diskutovaný.

náhodné fraktály

Medzi náhodné fraktály rozhodne nepatrí všetky ostatné. Je to ale veľmi rozsiahla a neusporiadaná skupina. Používa sa hlavne pre zobrazovanie a modelovanie prírodných objektov a dejov. Niektoré vznikajú veľmi jednoducho, napr. Náhodným presúvaním bodu, ktorý zanecháva za sebou stopu (Brownov pohyb). Iné vykreslí hlávku kapusty (šalát je soběpříbuzný). Používajú sa teda najmä pre opis prírodných objektov, pretože do výpočtu dávajú prvok náhody. Náhodnýmy fraktály sa na tomto webe budeme zaoberať len veľmi okrajovo.

Všeobecná teória

"Rozumné" Eukleidovskom tvary majú tú vlastnosť, že sa zmenou mierky nemení napr. Obvod. Taký štvorec si pokojne zväčšujte až do aleluja, ale obvod, obsah a rozmery jednotlivých strán zostanú nezmenené. Tiež ťažko vnútri štvorca uvidíte ďalšie, menšie štvorce, či útvary jemu podobné. Štvorec je teda tzv. Geometricky hladký útvar. U fraktálov sa stretávame s úplným opakom. Vezmime napr. Problém meranie dĺžky ostrova, ktorým sa zaoberal Richardson. Najprv ju zmeriame na mape sveta, treba "odkrokujeme" kružidlom. Získame nejakú hodnotu x. Potom vezmeme mapu s väčším meradlom a získame hodnotu x + y. Potom pre zmenu obídeme ostrov pešo. Tak zachytíme ešte me n šie detaily, ktoré na mapách z pochopiteľných dôvodov zanesené nie sú. Aby toho nebolo málo, zmenšíme sa do veľkosti mravca, a poctivo si to odpochodujeme (teda žiadne preskakovania balvanov). Keby sme sa takto zmenšovali do nekonečna, vyšla by nám dĺžka os t rova nekonečná! Podobný problém nenachádzame samozrejme len u dĺžky pobreží, napr. Portugalsko je uvedená dĺžka hraníc so Španielskom 1214 km, kdežto Španielsko má s Portugalskom hranicu len 987 km. Ktorýkoľvek ostrov je teda nekonečne členitý útvar. Richardson empi ricky odvodil takýto vzťah: ** ** ########################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################

****

** ** K = N * e D  

K - dĺžka pobrežia
N - počet úsečiek nutných k aproximácii
e - dĺžka úsečky
D - konštanta, ktorú nevedel Richardson odvodiť, to dokázal až B. Mandelbrot

Ďalšie typické znaky fraktálov sú lepšie viditeľné na iných modeloch. Vezmime taký strom. Zdiaľky môže vyzerať ako trojuholník, pri približovaní (zmene mierky) sa bude vyjasňovať jeho štruktúra (vetvy) pri ďalšom priblížení zistíme, že jednotlivé vetvičky "vytvárajú" obraz celého stromu. Táto vlastnosť sa nazýva so b ěpodobnost, ale s ňou sa stretávame predovšetkým u matematických modelov, v prírode sa objavuje hlavne soběpříbuznost.

 

Soběpodobnost

Ktorákoľvek časť fraktálu je presnou kópiou pôvodného motívu. Ako už bolo povedané, inde ako u matematických štruktúr sa s ňou nestretneme. Tie sa našťastie dajú veľmi dobre znázorniť, takže váš počítač môže vykresliť aj veľmi efektné soběpodobné útvary

 

Soběpříbuznost

Ktorákoľvek časť fraktálu je podobná pôvodnému vzoru. V prírode sa jedná napr. O konáre či korene stromu, mraky, púšťou duny atď. Atď ...

Z problému skúmania dĺžky ostrova vyplíva jeden závažný dôsledok. Ak totiž nadobúda krivka nekonečnej dĺžky, mala by v rovine "zaberať o niečo viac miesta", ako hladký útvar. To "viac miesta" sa nazýva Hausdorff dimenzia au fraktálov je vždy väčšia ako topologické dimenzie. Priamka má topologickú dimenziu 1, štvorec 2, kocky 3, hyperkocka 4 atď. Ak obvod fraktálu K = N * e ^D potom meradlo s = 1 / N. Dosadením K = 1 sa Hausdorff dimenzie D _H = log (N) / log (1 / s). V praxi nám väčšinou nestačí takto jednoducho dosadiť, používa sa niekoľko metód, napr. Obvodová metóda alebo mriežková metóda.